Grados de Libertad

En un sistema físico, el término grado de libertad se refiere a la cantidad mínima de números reales que se necesitan especificar para determinar completamente el estado físico. Este concepto lo podemos encontrar en mecánica clásica y termodinámica.

En mecánica, por cada una de las partículas libres del sistema y por cada dirección en la que se pueden moverse existen dos grados de libertad, uno se relaciona con la posición y el otro con la velocidad.

Cuando existan ligaduras entre las partículas, el número de grados de libertad será igual al número total de variables menos el número de ligaduras que las relacionan.

GRADOS DE LIBERTAD EN MECÁNICA CLÁSICA

En mecánica hamiltoniana, el número de grados de libertad de un sistema coincide con la dimensión topológica del espacio de fases del sistema.

Un conjunto de N partículas que interactúan entre sí y se mueven sin restricciones en un espacio tridimensional tiene 6N grados de libertad, o sea tres coordenadas de posición y tres velocidades.

EJEMPLO DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Considerando un sistema de 3 grados de libertad,

Hay 3 grados de libertad en este problema, para poder caracterizar el distema tenemos que tener las posiciones de las tres masas (x_1, x_2, y x₃).

Se necesitan tres diagramas de cuerpo libre para formar las ecuaciones de movimiento. Sin embargo, es  posible formar las matrices de coeficientes directamente, ya que en cada parámetro en un sistema de masa-amortiguador-resorte tiene un papel muy importante.

Ecuaciones de movimiento para diagramas de cuerpo libre

Las ecuaciones de movimiento se pueden obtener de los diagramas de cuerpo libre, basados en la segunda ley de movimiento de Newton, F = m(a)

Las ecuaciones de movimiento se pueden expresar de la siguiente manera:

Entonces, la matriz de ecuaciones quedará así:

Ecuaciones de movimiento de la formación de la matriz directa

Si vemos las matrices de coeficientes anteriores, podemos encontrar que todos los términos de la diagonal principal son positivos y contienen términos que están directamente relacionados con los elementos correspondientes.

Los demás elementos son negativos y simétricos, son simétricos por que están unidos a dos elementos y los efectos son los mismos en esos dos elementos (condición conocida como teorema de reciprocidad de Maxwell) y son negativos debido a los desplazamientos o velocidades relativas de los dos elementos conectados.

En resumen para crear esas matrices se realizan los siguientes pasos:

1.     Determinar el número de grados de libertad del problema, estos determinan el tamaño de la masa, amortiguación y matrices de rigidez. Normalmente, un grado de libertad puede relacionarse con cada masa.

2.     Añade los valores de las masas (si están asociadas con grados de libertad) en las diagonales de la matriz de masas, el orden exacto no importa. Todos los demás valores de la matriz son ceros.

3.     Para cada masa (asociada con un grado de libertad), suma la amortiguación de todos los amortiguadores que tiene esa masa, agrega el valor en la matriz de amortiguación que corresponda a la masa en la matriz de masa.

4.     Identificar los amortiguadores que están conectados a dos masas, etiqueta las masas como m y n, Escribe el amortiguador negativo en los lugares (m,n) y (n,m) en la matriz de amortiguamiento. Repite el procedimiento para todos los amortiguadores, los términos restantes en la matriz de amortiguamiento son ceros.

5.     Para cada masa, suma la rigidez de todos los resortes unidos a la masa, añade ese valor en la matriz de rigidez en la diagonal que corresponde a la masa en la matriz de masa.

6.     Identificar los resortes que están conectados a dos masas, etiquetarlos como m y n. Escribir el resorte negativo en los lugares (m,n) y (n,m) en la matriz de rigidez. Repite el procedimiento para todos los resortes, los términos que restan en la matriz de rigidez son ceros.

7.     Suma las fuerzas externas aplicadas sobre cada masa (asociada con un grado de libertad), agrega ese valor en el vector de fuerza en el lugar de la fila correspondiente a la fila de esa masa en la matriz de masa.

8.     La matriz resultante de movimiento es: