Para esta semana, se nos pidió elegir un Problema del libro Sistemas de Control Moderno de Richard Dorf y Robert Bishop.
El problema que elegí es el siguiente:
P11.13 Un sistema realimentado tiene una función de transferencia de la planta
\[\frac{Y(s)}{R(s)}=G(s)=\frac{K}{s(s+70)}\]
\[\frac{Y(s)}{R(s)}=G(s)=\frac{K}{s(s+70)}\]
Se desea que la constante
de error de velocidad k0 sea de 35 y que la sobre elongación para
una entrada escalón sea aproximadamente el 4% de manera que z sea de 1/√2. El tiempo de asentamiento (con el criterio
de 2%) deseado es de 0.11 segundos. Diseñar un sistema realimentado en variables
de estado apropiado,
Primero para determinar K, tenemos que..
\[K_{v}=35=\lim_{s\rightarrow0}sG(s)=\frac{K}{70}\] \[K=2450\]
La representación de estados es de la siguiente manera:
\[\dot{x}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & -70
\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}
0\\
2450
\end{bmatrix}u
\\
\\
y=\begin{bmatrix}
1 & 0
\end{bmatrix}x\]
Se tiene que,
\[u=-k_{1}x_{1}-k_{2}x_{2}\]
La ecuación característica de este sistema de lazo cerrado es:
\[q(s)=s^2+(2450k_{2}+70)s+2450k_{1}=0\]
La ecuación característica de este sistema de lazo cerrado es:
Cuyo polinomio característico deseado es:
\[s^2+(2450(0.707106)+70)s+2450(51.42)=0\]
Donde,
\[\zeta =0.707106\\ \\T_{s}=\frac{4}{\zeta \omega _{n}}\ \\ \\T_{s}=\frac{4}{0.707106 \omega _{n}}\ \\\omega _{n}=51.42\]
